Роль и место движений в геометрии

Итак, под преобразованием в геометрии понимают, например, в случае плоскости отображение всей плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается в единственную точку , а каждой точке соответствует единственная точка У.

Понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему известными понятиями. Определение задает как бы точку зрения — ориентировочную основу — для оценки понятий, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение понятия преобразования, ученик может анализировать различные преобразования с точки зрения наличия или отсутствия в них тех признаков, которые содержатся в определении. При этом, например, он может использовать аналогию между понятием движения в геометрии и равномерного прямолинейного движения предметов (твердых тел) в механике. Такая реальная работа по оценке различных предметов с точки зрения, заданной определением, и создает постепенно в голове учащихся идеальное понятие как обобщенный и абстрактный образ.

Обязательная программа не предусматривает широкого изучения различных свойств геометрических преобразований. Вопрос использования преобразований при решении геометрических задач предлагается вынести, как вариативный компонент, на факультативные занятия и внеклассную работу.

Геометрические преобразования являются обобщением понятия о функции, и поэтому позволяют «обозреть с одной точки зрения, как отдельные части геометрии, так и их взаимные связи» (Ф. Клейн) – это значит, что изучение геометрических преобразований открывает возможность подчинить единой идее – идее функциональной зависимости – всю школьную математику. Большая общность геометрических преобразований позволяет значительно упростить доказательство многих теорем. Также изучение преобразований вооружает учащихся способами (методами) решения задач на построение, которые являются одним из средств развития геометрического мышления учащихся.

Ф. Клейн (1849-1925) знаменит своей общей концепцией геометрии, в основу которой положил учение об «автоморфизмах» соответствующей геометрической теории. Хотя точка зрения Ф. Клейна не исчерпывает всего богатства современной геометрии, – в ее рамки не укладывается ряд современных геометрических теорий, – теоретико-групповой подход к построению геометрии охватывает практически все геометрические теории, изучаемые в высшей школе. Однако групповая точка зрения не была реализована в практике массового школьного обучения.

Приобщая школьников к основным идеям геометрии, можно доступно изложить им основные положения группового подхода, которые составляют вводную часть знаменитой лекции Ф. Клейна «Эрлангенская программа» (1872), примерно так.

«Что такое геометрия? Наука о геометрических свойствах фигур. Какие же свойства следует называть геометрическими? Те, что не зависят от положения, занимаемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных размеров и, наконец, от ориентации (под этим понимают то свойство расположения, которое является источником различия между данной фигурой и ее зеркальным изображением). Отсюда вытекает, что геометрические свойства фигуры не изменяются от параллельных переносов и поворотов, от преобразований подобия, от зеркального отражения и от всех преобразований, которые могут быть составлены из перечисленных. Отметим, что все они в совокупности образуют группу. Можно сказать, геометрические свойства – это те, которые не изменяются в результате любого преобразования из группы перечисленных выше.

Будем говорить теперь о произвольной группе преобразований. Как обобщение геометрии тогда получится следующая задача. Дано пространство и в нем группа преобразований. Нужно исследовать те свойства фигур, которые не изменяются при преобразованиях этой группы. Иными словами, требуется развить теорию инвариантов этой группы. Это — общая задача, включающая в себя не только обыкновенную геометрию, но и новейшие геометрические теории. Так говорил Клейн. С тех пор каждую геометрию, порождаемую некоторой группой преобразований, называют клейновской геометрией.

Главные разделы

• Главная
• Методы обучения двигательным действиям
• Раннее обучение английскому языку
• Педагогика способностей
• Половое воспитание детей и подростков
• Я-концепция ребенка дошкольного возраста
• Коррекция гиперактивных детей
• Информация о педагогике