Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.
Урок 1 "Решение логарифмических уравнений".
Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:
Простейшим логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где
,
.
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция
возрастает (или убывает) на промежутке
, число
- любое из значений, принимаемых
на этом промежутке. Тогда уравнение
имеет единственный корень в промежутке
. Отсюда следует, что для любого
данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что
является таким решением.
То есть если ,
, то корень уравнения
равен
.
Основной способ решения логарифмических уравнений - это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.
При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.
Теорема: Уравнение , где
,
, равносильно системе:
состоящей из уравнения и двух неравенств.
(В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства).
Таким образом для решения уравнения при
,
нужно:
1) решить уравнение f (x) =g (x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.
Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.
Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:
На основании определения логарифма.
Так решаются уравнения вида .
Приведём пример такого уравнения и решим его.
Пример: Решить уравнение .
Решение: ОДЗ: .
По определению логарифма имеем: (по формуле
).
Отсюда:
Проверка: - верно.
- верно.
Ответ:
Метод потенцирования.
Суть метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при
,
) равносильно системе
Развитие, воспитание, обучение
Развитие – это изменение, представляющее собой переход качества от простого к более сложному, от низшего к высшему; процесс, в котором постепенное накопление количественных изменений приводит к наступлению качественных. Являясь процессом обновления, рождения нового и отмирания старого, развитие пр ...
Происхождение названия Орша. Версия первая
Говоря о происхождении названия Орша, необходимо очень осторожно и критически относится к версии , которая связывает его со словом “рэшутай”(орешник). На сегодняшний день нет подтверждающих сведений об как будто больших зарослях орешника в прошлом на берегу Ршы , как в прошлом, бесспорно , называл ...
Методика использования логоритмики в устранении нарушения просодической
стороны речи старших дошкольников со стертой формой дизартрии
Известно, что чем выше двигательная активность ребенка, тем интенсивней развивается его речь. С другой же стороны, формирование движений происходит при участии речи. Речь является одним из основных элементов в двигательно-пространственных упражнениях. Ритм речи, особенно ритм стихов, поговорок, по ...