Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.
Урок 1 "Решение логарифмических уравнений".
Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:
Простейшим логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где
,
.
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция
возрастает (или убывает) на промежутке
, число
- любое из значений, принимаемых
на этом промежутке. Тогда уравнение
имеет единственный корень в промежутке
. Отсюда следует, что для любого
данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что
является таким решением.
То есть если ,
, то корень уравнения
равен
.
Основной способ решения логарифмических уравнений - это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.
При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.
Теорема: Уравнение , где
,
, равносильно системе:
состоящей из уравнения и двух неравенств.
(В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства).
Таким образом для решения уравнения при
,
нужно:
1) решить уравнение f (x) =g (x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.
Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.
Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:
На основании определения логарифма.
Так решаются уравнения вида .
Приведём пример такого уравнения и решим его.
Пример: Решить уравнение .
Решение: ОДЗ: .
По определению логарифма имеем: (по формуле
).
Отсюда:
Проверка: - верно.
- верно.
Ответ:
Метод потенцирования.
Суть метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при
,
) равносильно системе
Интегрированный урок
В современных условиях обучения иностранному языку в средней школе все более острую необходимость приобретают постановка и решение важных общедидактических, педагогических и методических задач, имеющих целью расширить общеобразовательный кругозор учащихся, привить им стремление овладеть знаниями ш ...
Качество вычислительного навыка табличного умножения и
деления
Рассмотрев теорию формирования у младших школьников навыков табличного умножения и деления в различных системах обучения, мы решили провести констатирующий эксперимент, с целью определения качества вычислительного навыка у детей. Для этого мы провели внеплановые контрольные работы по традиционной ...
Система упражнений по теме «Тригонометрические
уравнения»
При разработке системы упражнений мы, главным образом, будем опираться на структуру изложения материала, представленную в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс». На изучение темы «Простейшие тригонометрические уравнения» мы условимся отводить, 12 учебных часов и 15 часов ...