Математические основы изучения умножения и деления в начальной школе

а * и = т(А * В) = т(В * А) = и *ф

Переместительный закон умножения можно распространить на любое число множителей, то есть произведение нескольких множителей не изменяется, если их переставить любым способом.

Понятие конкретного смысла арифметического действия деления сформулируем через определение частного целого неотрицательного числа а и натурального числа b.

«Пусть а = n(А)

и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если b - число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества.

Если b - число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении».

Действие, при помощи которого находим частное, а/b, называется делением, при этом число а - делимое, b - делитель.

Рассмотрим другое определение частного:

«Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое неотрицательное число с = а/b, произведение которого и числа b равно а». Из данного определения вытекает взаимосвязь арифметических действий, которую мы изобразим следующим образом:

a/b=c <=> a=c*b.

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Отсюда вывод: деление есть действие, обратное умножению.

При определении конкретно смысла действия деления необходимо рассмотреть вопрос о существовании частного и его единственности. В математике существует следующая теорема:

«Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b < а». Иными словами делитель всегда должен быть не больше делимого.

Докажем данное утверждение. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, то есть существует такое натуральное число с, что, а = с * b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1 < с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b < с * Ь. Поскольку с * b = а, то b < а. Теорема доказана.

Рассмотрим также частный случай, когда, а = 0 и вычислим, чему равно в данном случае с, то есть частное. По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с * b = 0. Так как b не равно 0, то равенство с * b = 0 будет выполняться при с = 0, следовательно, 0 / b = 0, если b Є N

Второе утверждение, требующее доказательства, звучит так:

«Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно».

Рассмотрим теперь вопрос, также существенный при обучении математике в начальных классах, о невозможности деления целого неотрицательного числа на нуль.

Пусть даны числа, а не равно 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел а и b существует. Тогда по определению частного существует такое целое неотрицательное число с, что, а = с * 0, тогда, а = 0. Пришли к противоречию с условием, следовательно, частное чисел, а не равно 0 и b = 0 не существует.

Если, а = 0 и b = 0, то из предложения, что частное этих чисел а и b существует, следует равенство 0 = с * 0, истинное при любых значениях с, то есть частным чисел, а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.

В начальном курсе математики первоначальные представления о делении формируются на основе практических упражнений, связанных с разбиением множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, но без введения соответствующей терминологии и символики. Главным средством раскрытия этого понятия деления является решение простых задач. В начальных классах изучается два вида задач на деление: по содержанию и на равные части.

Главные разделы

• Главная
• Методы обучения двигательным действиям
• Раннее обучение английскому языку
• Педагогика способностей
• Половое воспитание детей и подростков
• Я-концепция ребенка дошкольного возраста
• Коррекция гиперактивных детей
• Информация о педагогике