если множество M совпадает с R, то уравнения и
равносильны;
В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:
уравнение равносильно системе
(При условии, что
);
для любого натурального числа 2m уравнение равносильно системе
.
Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.
Пример 5. Решить уравнение
Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня
. Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.
Ответ: .
Использование понятия области изменения функции. При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?
Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).
Пусть дано уравнение f(x)=,где f(x) и
- элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2. Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X1∩X2. Если множество A пустое (A=
), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠
.
Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1)=, где f(x1) – значение функции f(x) при x=x1, а
значение функции
при x=x1.
Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1∩Y2≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1∩Y2≠
, еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками.
Пусть дано неравенство f(x)≤,где f(x) и
- элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2, причем X1∩X2≠
. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если промежуток
является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤
, где f(a) – значение функции f(x) при x=a, а
значение функции
при x=a. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и
имеют общие элементы (Y1∩Y2≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Психофизиологические основы возникновения леворукости
Левши составляют 10-17 процентов населения нашей планеты. В 1930-е годы в Великобритании насчитывалось около 3% левшей, к 1950-м годам их стало около 5%, а сейчас примерно каждый десятый англичанин - левша. ВУкраине, соответственно, их порядка 4,6 миллионов человек. Причем отечественная армия лево ...
Формирование мышления
В отечественной психологии и дошкольной педагогике показано, что важной составной частью содержания умственного воспитания является развитие мышления. При этом отечественные психологи рассматривают развитие мышления как единый диалектический процесс, где каждый вид мышления выступает как необходим ...
Математические задачи, решаемые при помощи движений
Существенным элементом структуры познавательного педагогического процесса являются методы обучения. Под методом обучения будем понимать упорядоченный способ взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленный на достижение целей обучения. Система методов обучения состоит из общих методов ...