если множество M совпадает с R, то уравнения и
равносильны;
В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:
уравнение равносильно системе
(При условии, что
);
для любого натурального числа 2m уравнение равносильно системе
.
Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.
Пример 5. Решить уравнение
Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня
. Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.
Ответ: .
Использование понятия области изменения функции. При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?
Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).
Пусть дано уравнение f(x)=,где f(x) и
- элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2. Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X1∩X2. Если множество A пустое (A=
), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠
.
Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1)=, где f(x1) – значение функции f(x) при x=x1, а
значение функции
при x=x1.
Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1∩Y2≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1∩Y2≠
, еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками.
Пусть дано неравенство f(x)≤,где f(x) и
- элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2, причем X1∩X2≠
. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если промежуток
является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤
, где f(a) – значение функции f(x) при x=a, а
значение функции
при x=a. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и
имеют общие элементы (Y1∩Y2≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Характеристика образовательного процесса в современных
гимназиях и лицеях
Обучение в российских школах в свете новых реформ в образовании начинается в возрасте 6 лет и длится в течение 11 лет при полном образовании (11 классов), основное образование составляет 9 лет (9 классов). Хотя в России существует единая образовательная система, все-таки учебные планы от школы к ш ...
Психологические особенности
детей с общим недоразвитием речи
Характеристика детей с ОНР. Общее недоразвитие речи (ОНР) - сложное речевое расстройство, при котором у детей с нормальным слухом и первично сохраненным интеллектом отмечается позднее начало развития речи, скудный запас слов, аграмматизм, дефекты произношения и феномообразования. Эти проявления в ...
Развитие внимания и запоминания
Внимание и запоминание являются одним из основных условий, обеспечивающих успешное усвоение детьми доступного для них объема знаний, умений.
Большое значение для развития зрительного внимания имеют игры с перемещением предметов в пространстве. Перемещение должно производиться медленно, так, чтобы ...