Пример 2. Решить неравенство
Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.
Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.
Ответ: .
Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях:
2.1Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.
2.2.Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.
2.3.Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c. Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).
Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.
Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение легко подбирается: .
Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение
Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: .
Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения :
пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение будет равносильно системе ;
Проектный анализ книги
Рост компьютерных технологий, популярность интернет- и аудиокниг не только не разрушили традиционный книгоиздательский бизнес, а наоборот, дали толчок к развитию: увеличиваются тиражи, новые грани демонстрируют дизайн текста и книжные иллюстрации. Открываются новые горизонты для книжного дизайна. ...
Урок-эссе
Современный подход к изучению английского языка предполагает не только получение какой-то суммы знаний по предмету, но и выработку собственной позиции, собственного отношения к прочитанному: соразмышления, сопереживания, сопряжения своего и авторского "я".
Словарь кратких литературоведч ...
Классификация методов обучения двигательным действиям
Классификации методов обучения позволяют учителю оценить сходство и различия способов преподавания учебного материала и усвоение его учениками, что необходимо знать при выборе методов для решения конкретной дидактической задачи.
В соответствии с различными признаками методов существует несколько ...